Правила извлечения квадратного корня



Квадратный корень из произведения, дроби и степени. В настоящем параграфе мы будем рассматривать арифметические квадратные корни. В случае буквенного подкоренного выражения будем считать, что буквы, содержащиеся под знаком корня, правила извлечения квадратного корня неотрицательные числа. С другой стороны, заметим, что число 2601 есть произведение двух сомножителей, из которых корень извлекается легко: Извлечём квадратный корень из каждого сомножителя и перемножим эти корни: Мы получили одинаковые результаты и тогда, когда извлекали корень из произведения, стоящего под корнем, и тогда, когда извлекали корень из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножали. Во многих случаях вторым способом найти результат легче, так как приходится извлекать корень из меньших чисел. Чтобы извлечь квадратный корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить. Докажем теорему для трёх сомножителей, то есть докажем справедливость равенства: Доказательство проведём непосредственной проверкой, на основании определения арифметического корня. Допустим, что нам надо доказать равенство: А и В — неотрицательные числа. По определению квадратного корня, это значит, что Поэтому достаточно возвести в квадрат правую часть правила извлечения квадратного корня равенства и убедиться, что получится подкоренное выражение левой части. Применим это рассуждение к доказательству равенства 1. Возведём в квадрат правую часть; но в правой части находится произведение, а чтобы возвести в квадрат произведение, достаточно возвести в квадрат правила извлечения квадратного корня сомножитель и результаты перемножить см, правила извлечения квадратного корня 40 ; Получилось подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство 1 верно. Мы доказали теорему для трёх сомножителей. Но рассуждения останутся теми же, если под корнем будет 4 и т. Теорема верна для любого числа сомножителей. Результат легко найден устно. С другой стороны, значит, Докажем теорему. Чтобы извлечь корень из дроби, можно правила извлечения квадратного корня корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй. Требуется доказать справедливость равенства: Для доказательства применим способ, которым была доказана предыдущая теорема. Возведём правую часть в квадрат. Будем иметь: Получили подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство 2 верно. Итак, мы доказали следующие тождества: и сформулировали соответствующие правила извлечения квадратного корня из произведения и частного. Иногда при выполнении преобразований приходится применять эти тождества, читая их «справа налево». Переставив левую и правую части, перепишем доказанные тождества следующим образом: Чтобы перемножить корни, можно перемножить подкоренные выражения из произведения извлечь корень. Чтобы разделить корни, можно разделить подкоренные выражения из частного извлечь корень. Вычислим Но Значит, Точно так же В обоих примерах мы в результате получали основание подкоренного выражения в степени, равной частному от деления показателя степени на 2. Докажем это положение в общем виде. Если — чётное число, то Кратко говорят так: чтобы извлечь квадратный корень из степени, достаточно разделить на 2 показатель степени не меняя основания. Для доказательства применим тот способ проверки, которым были доказаны теоремы 1 и 2. Так как — чётное число по условиюто целое число. Возведём в квадрат правую часть равенства 3для чего см. § 40 умножим на 2 показатель степени, не меняя основания Получили подкоренное выражение, стоящее в левой части. Значит, равенство 3 верно. Вычислить На вычисление 76 пришлось бы потратить значительное время и труд. Теорема 3 позволяет найти правила извлечения квадратного корня устно. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. РАЗЛОЖЕНИЕ Правила извлечения квадратного корня НА МНОЖИТЕЛИ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. Квадратный корень из произведения, дроби и степени. © Научная библиотека Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт.

комментарий:

комментарий
 

В результате получаем сразу сумму того и другого. Группа цифр 32 приписана дважды к числам 145 и 243, в числе 2388025 вторую 8 необходимо заменить на 3.